Sabtu, 27 Mei 2017

Teori Bahasa dan Automata

Teori Otomata adalah teori mengenai mesin-mesin abstrak, dan berkaitan erat dengan teori bahasa formal. ada beberapa hal yang berkaitan dengan Otomata, yaitu Grammar. Grammar adalah bentuk abstrak yang dapat diterima (accept) untuk membangkitkan suatu kalimat otomata berdasarkan suatu aturan tertentu. 

Teori Bahasa

  • Teori bahasa membicarakan bahasa formal (formal language), terutama untuk kepentingan perancangan kompilator (compiler) dan pemroses naskah (text processor).
  • Bahasa formal adalah kumpulan kalimat. Semua kalimat dalam sebuah bahasa dibangkitkan oleh sebuah tata bahasa (grammar) yang sama.
  • Sebuah bahasa formal bisa dibangkitkan oleh dua atau lebih tata bahasa berbeda.
  • Dikatakan bahasa formal karena grammar diciptakan mendahului pembangkitan setiap kalimatnya.
  • Bahasa Natural/manusia bersifat sebaliknya; grammar diciptakan untuk meresmikan kata-kata yang hidup di masyarakat. Dalam pembicaraan selanjutnya ‘bahasa formal’ akan disebut ‘bahasa’ saja.
Teori Bahasa dan Otomata

Otomata (Automata)

  • Otomata adalah mesin abstrak yang dapat mengenali (recognize), menerima (accept), atau membangkitkan (generate) sebuah kalimat dalam bahasa tertentu.
  

Beberapa Pengertian Dasar :

·Simbol adalah sebuah entitas abstrak (seperti halnya pengertian titik dalam geometri). Sebuah huruf atau sebuah angka adalah contoh simbol.
·String adalah deretan terbatas (finite) simbol-simbol. Sebagai contoh, jika ab, dan adalah tiga buah simbol maka abcb adalah sebuah string yang dibangun dari ketiga simbol tersebut.
·Jika adalah sebuah string maka panjang string dinyatakan sebagai ïwï dan didefinisikan sebagai cacahan (banyaknya) simbol yang menyusun string tersebut. Sebagai contoh, jika abcb maka ïwï= 4.
·String hampa adalah sebuah string dengan nol buah simbol. String hampa dinyatakan dengan simbol e (atau ^) sehingga ïeï= 0. String hampa dapat dipandang sebagai simbol hampa karena keduanya tersusun dari nol buah simbol.
·Alfabet adalah hinpunan hingga (finite set) simbol-simbol

Operasi Dasar String

Diberikan dua string : x = abc, dan y = 123 
·Prefik string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abcaba, dan e adalah semua Prefix(x)
·ProperPrefix string adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : aba, dan e adalah semua ProperPrefix(x)
·Postfix (atau Sufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : abcbcc, dan e adalah semua Postfix(x)
·ProperPostfix (atau PoperSufix) string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dari string w tersebut.
Contoh : bcc, dan e adalah semua ProperPostfix(x)
·Head string adalah simbol paling depan dari string w.
Contoh : a adalah Head(x)
·Tail string adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan simbol paling depan dari string tersebut.
Contoh : bc adalah Tail(x)
·Substring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abcabbcab, c, dan e adalah semua Substring(x)
·ProperSubstring string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol paling depan dan/atau simbol-simbol paling belakang dari string w tersebut.
Contoh : abbcab, c, dan e adalah semua Substring(x)
·Subsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan nol atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : abc, abbcacab, c, dan e adalah semua Subsequence(x)
·ProperSubsequence string w adalah string yang dihasilkan dari string w dengan menghilangkan satu atau lebih simbol-simbol dari string w tersebut.
Contoh : abbcacab, c, dan e adalah semua Subsequence(x)
·Concatenation adalah penyambungan dua buah string. Operator concatenation adalah concate atau tanpa lambang apapun.
Contoh : concate(xy) = xy abc123
·Alternation adalah pilihan satu di antara dua buah string. Operator alternation adalah alternate atau ½.

Contoh : alternate(xy) = x½abc atau 123
·Kleene Closure : x* = e½x½xx½xxx½… = e½x½x2½x3½
·Positive Closure : x+ = x½xx½xxx½… = x½x2½x3½

Beberapa Sifat Operasi

·Tidak selalu berlaku : x = Prefix(x)Postfix(x)
·Selalu berlaku : x = Head(x)Tail(x)
·Tidak selalu berlaku : Prefix(x) = Postfix(x) atau Prefix(x¹ Postfix(x)
·Selalu berlaku : ProperPrefix(x¹ProperPostfix(x)
·Selalu berlaku : Head(x¹ Tail(x)
·Setiap Prefix(x), ProperPrefix(x), Postfix(x), ProperPostfix(x), Head(x), dan Tail(x) adalah Substring(x), tetapi tidak sebaliknya
·Setiap Substring(x) adalah Subsequence(x), tetapi tidak sebaliknya
·Dua sifat aljabar concatenation :
¨Operasi concatenation bersifat asosiatif : x(yz) = (xy)z
¨Elemen identitas operasi concatenation adalah e : exe = x
·Tiga sifat aljabar alternation :
¨Operasi alternation bersifat komutatif : x½y = y½x
¨Operasi alternation bersifat asosiatif : x½(y½z) = (x½y)½z
¨Elemen identitas operasi alternation adalah dirinya sendiri : x½x = x
·Sifat distributif concatenation terhadap alternation : x (y½z) = xy½xz

·Beberapa kesamaan :
¨Kesamaan ke-1 : (x*)* = x*
¨Kesamaan ke-2 : e½x+ = x+½e = x*
¨Kesamaan ke-3 : (x½y)* = e½x½y½xx½yy½xy½yx½… = semua string yang merupakan concatenation dari nol atau lebih x, y, atau keduanya.

GRAMMAR DAN BAHASA


Konsep Dasar


  • Anggota alfabet dinamakan simbol terminal.
  • Kalimat adalah deretan hingga simbol-simbol terminal.
  • Bahasa adalah himpunan kalimat-kalimat. Anggota bahasa bisa tak hingga kalimat.
  • Simbol-simbol berikut adalah simbol terminal :
ühuruf kecil, misalnya : a, b, c, 0, 1, ..
üsimbol operator, misalnya : +, -, dan ´
üsimbol tanda baca, misalnya : (,),dan ;
üstring yang tercetak tebal, misalnya : ifthen, dan else.
  • Simbol-simbol berikut adalah simbol non terminal /Variabel :
ühuruf besar, misalnya : A, B, C
ühuruf S sebagai simbol awal
üstring yang tercetak miring, misalnya expr
  • Huruf yunani melambangkan string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya, misalnya :a,b, dang.
  • Sebuah produksi dilambangkan sebagaia®b, artinya : dalam sebuah derivasi dapat dilakukan penggantian simboladengan simbolb.
  • Derivasi adalah proses pembentukan sebuah kalimat atau sentensial. Sebuah derivasi dilambangkan sebagai :aÞb.
  • Sentensial adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal atau simbol-simbol non terminal atau campuran keduanya.
  • Kalimat adalah string yang tersusun atas simbol-simbol terminal. Kalimat adalah merupakan sentensial, sebaliknya belum tentu..

Grammar :

model grammar
model grammar
Contoh :

1.G1 :VT = {I,Love, Miss, You}, VN = {S,A,B,C},
P = {S ® ABC, A® I, B® Love | Miss, C® You}
Þ ABC
Þ IloveYou
L(G1)={IloveYou, IMissYou}

2. . G2 :VT = {a}, VN = {S}, P = {S ® aS½a}
Þ aS
Þ aaS
Þ aaaL(G2) ={a½ n ≥ 1}
L(G2)={a, aa, aaa, aaaa,…}

Klasifikasi Chomsky

Berdasarkan komposisi bentuk ruas kiri dan ruas kanan produksinya (a®b), Noam Chomsky mengklasifikasikan 4 tipe grammar :

1.Grammar tipe ke-0 : Unrestricted Grammar (UG)
Ciri : abΠ(VT½VN)*, ïaï> 0
2.Grammar tipe ke-1 : Context Sensitive Grammar (CSG)
Ciri : abΠ(VT½VN) *, 0 < ïaï£ïbï
3.Grammar tipe ke-2 : Context Free Grammar (CFG)
Ciri : aΠVNbΠ(VT½VN)*
4.Grammar tipe ke-3 : Regular Grammar (RG)
Ciri : aΠVNbΠ{VT, VTVN} atau aΠVNbΠ{VT, VNVT}
Tipe sebuah grammar (atau bahasa) ditentukan dengan aturan sebagai berikut :
A language is said to be type-i (i = 0, 1, 2, 3) language if it can be specified by a type-i grammar but can’t be specified any type-(i+1) grammar.

Contoh Analisa Penentuan Type Grammar


1.Grammar G1 dengan P1 = {S ® aB, B ® bB, B ® b}.
Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah VNmaka G1 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah Vatau string VTVN maka G1 adalah RG(3).
2.Grammar G2 dengan P2 = {S ® Ba, B ® Bb, B ® b}.
Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah VNmaka G2 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena semua ruas kanannya terdiri dari sebuah VT atau string VNVT maka G2 adalah RG(3).
3.Grammar G3 dengan P3 = {S ® Ba, B ® bB, B ® b}.
Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah VNmaka G3 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string VTVN (yaitu bB) dan juga string VNVT (Ba) maka G3 bukan RG, dengan kata lain G3 adalah CFG(2).
4.Grammar G4 dengan P4 = {S ® aAb, B ® aB}.
Ruas kiri semua produksinya terdiri dari sebuah VNmaka G4 kemungkinan tipe CFG atau RG. Selanjutnya karena ruas kanannya mengandung string yang panjangnya lebih dari 2 (yaitu aAb) maka G4 bukan RG, dengan kata lain G4 adalah CFG.
5.Grammar G5 dengan P5 = {S ® aA, S ® aB, aAb ® aBCb}.
Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 (yaitu aAb) maka G5 kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena semua ruas kirinya lebih pendek atau sama dengan ruas kananya maka G5 adalah CSG.
6.Grammar Gdengan P6 = {aS ® ab, SAc ® bc}.
Ruas kirinya mengandung string yang panjangnya lebih dari 1 maka G6 kemungkinan tipe CSG atau UG. Selanjutnya karena terdapat ruas kirinya yang lebih panjang daripada ruas kananya (yaitu SAc) maka G6 adalah UG.

Derivasi Kalimat dan Penentuan Bahasa

Tentukan bahasa dari masing-masing gramar berikut :

1.G1 dengan P= {1. S ® aAa,2. A ® aAa,3. A ® b}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek :Derivasi kalimat umum :
Þ aAa (1)S Þ aAa (1)
Þ aba (3)Þ aaAaa (2)
¼
Þ anAan(2)
Þ anban(3)
Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L1 (G1) = { anban½ n ³ 1}
2.G2 dengan P2 = {1. S ® aS,2. S ® aB,3. B ® bC,4. C ® aC,5. C ® a}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek :Derivasi kalimat umum :
Þ aB (2)S Þ aS (1)
Þ abC (3)¼
Þ aba(5)Þ an-1S (1)
Þ anB(2)
Þ anbC(3)
Þ anbaC(4)
¼
Þ anbam-1C(4)
Þ anbam(5)
Dari pola kedua kalimat disimpulkan : L2 ( G2)={anbam½³1, m³1}
3.G3 dengan
P3 = {1. S ® aSBC,2. S ® abC,3. bB ® bb,
4. bC ® bc,5. CB ® BC,6. cC ® cc}.
Jawab :
Derivasi kalimat terpendek 1:Derivasi kalimat terpendek 3 :
Þ abC (2)S Þ aSBC (1)
Þ abc(4)Þ aaSBCBC(1)
Derivasi kalimat terpendek 2 :Þ aaabCBCBC(2)
Þ aSBC (1)Þ aaabBCCBC(5)
Þ aabCBC(2)Þ aaabBCBCC(5)
Þ aabBCC(5)aabcBC (4)Þ aaabBBCCC(5)
Þ aabbCC(3)Þ aaabbBCCC(3)
Þ aabbcC(4)Þ aaabbbCCC(3)
Þ aabbcc(6)Þ aaabbbcCC(4)
Þ aaabbbccC(6)
Þ aaabbbccc(6)
Dari pola ketiga kalimat disimpulkan : L3 (G3) = { anbncn½ n ³ 1}


Menentukan Grammar Sebuah Bahasa


1.Tentukan sebuah gramar regular untuk bahasa L1 = { an½ n ³ 1}
Jawab :
P1 (L1) = {S ® aS½a}
2.Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :

L: himpunan bilangan bulat non negatif ganjil

Jawab :
Langkah kunci : digit terakhir bilangan harus ganjil.
Vt={0,1,2,..9}
Vn ={S, G,J}
P={SàHT|JT|J; TàGT|JT|J; Hà2|4|6|8; Gà0|2|4|6|8;Jà1|3|5|7|9}
P={SàGS|JS|J;Gà0|2|4|6|8;Jà1|3|5|7|9}
Buat dua buah himpunan bilangan terpisah : genap (G) dan ganjil (J)
P2 (L2) = {S ® J½GS½JS,G ® 0½2½4½6½8,J ® 1½3½5½7½9}
3.Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :
A.L2 = himpunan semua identifier yang sah menurut bahasa pemrograman Pascal dengan batasan : terdiri dari simbol huruf kecil dan angka, panjang identifier boleh lebih dari 8 karakter
Jawab :
Langkah kunci : karakter pertama identifier harus huruf.
Buat dua himpunan bilangan terpisah : huruf (H) dan angka (A)
SàHT|H;TàHT|AT|H|A; Hàa|..|z; Aà0|..|9
P3 (L3) = {S ® H½HT, T ® AT½HT½H½A,
® a½b½c½…,A ® 0½1½2½…}
4.Tentukan gramar bebas konteks untuk bahasa
L4 (G4) = {anbm½n,m ³ 1, n ¹ m}
Jawab :
Langkah kunci : sulit untuk mendefinisikan L4(G4) secara langsung. Jalan keluarnya adalah dengan mengingat bahwa x ¹ y berarti x > y atau x < y.

gramar bebas konteks untuk bahasa

5.Tentukan sebuah gramar bebas konteks untuk bahasa :
L5= bilangan bulat non negatif genap. Jika bilangan tersebut terdiri dari dua digit atau lebih maka nol tidak boleh muncul sebagai digit pertama.
Jawab :
Langkah kunci : Digit terakhir bilangan harus genap. Digit pertama tidak boleh nol. Buat tiga himpunan terpisah : bilangan genap tanpa nol (G), bilangan genap dengan nol (N), serta bilangan ganjil (J).
P5 (L5= {S ® N½GA½JA, A ® N½NA½JA, G® 2½4½6½8,
N® 0½2½4½6½8, J ® 1½3½5½7½9}

B.Mesin Pengenal Bahasa

Untuk setiap kelas bahasa Chomsky, terdapat sebuah mesin pengenal bahasa. Masing-masing mesin tersebut adalah :
Kelas Bahasa
Mesin Pengenal Bahasa
Unrestricted Grammar (UG)
Mesin Turing (Turing Machine), TM
Context Sensitive Grammar (CSG)
Linear Bounded Automata, LBA
Context Free Gammar (CFG)
Pushdown Automata, PDA
Regular Grammar, RG
Finite State Automata, FSA
FINITE STATE AUTOMATA (FSA)
·FSA didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel : (Q, ∑, δ, S, F).

Q : himpunan hingga state

∑ : himpunan hingga simbol input (alfabet)
δ : fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan simbol input.
Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.
ΠQ : state AWAL
Ì Q : himpunan state AKHIR
FSA untuk mengecek parity ganjil
FSA untuk mengecek parity ganjil
·Ada dua jenis FSA :
·Deterministic finite automata (DFA)
·Non deterministik finite automata.(NFA)
-DFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu.

δ: Q ´ ∑® Q

-NFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tak tentu.
δ : Q ´ ∑ ® 2Q
DFA :
Q = {q0, q1, q2}
δ diberikan dalam tabel berikut :
∑= {a, b}
δ
a
b
S = q0
q0
q0
q1
F = {q0, q1}
q1
q0
q2
q2
q2
q2

transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu.

  
Kalimat yang diterima oleh DFA : a, b, aa, ab, ba, aba, bab, abab, baba
Kalimat yang dittolak oleh DFA: bb, abb, abba
DFA ini menerima semua kalimat yang tersusun dari simbol a dan b yang tidak mengandung substring bb.
Contoh :
Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di atas :
abababaaè diterima
aaaababè diterima
aaabbabaè ditolak
Jawab :
i)δ (q0,abababaa) Þ δ (q0,bababaa) Þ δ (q1,ababaa) Þ
δ (q0,babaa) Þ δ (q1,abaa) Þ δ (q0,baa) Þ δ (q1,aa) Þ
δ (q0,a) Þ q0
Tracing berakhir di q0 (state AKHIR) Þ kalimat abababaa diterima
ii)δ (q0, aaaabab) Þδ (q0,aaabab) Þδ (q0,aabab) Þ
δ (q0,abab) Þ δ (q0,bab) Þ δ (q1,ab) Þ δ (q0,b) Þ q1

Tracing berakhir di q1 (state AKHIR) Þ kalimat aaaababaditerima

iii)δ (q0, aaabbaba) Þ δ (q0, aabbaba) Þ δ (q0, abbaba) Þ
δ (q0, bbaba) Þ δ (q1,baba) Þ δ (q2,aba) Þ δ (q2,ba) Þ δ (q2,a) Þq2

Tracing berakhir di q2 (bukan state AKHIR) Þ kalimat aaabbaba ditolak

Kesimpulan :
sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir di salah satu state AKHIR.
NFA :

Berikut ini sebuah contoh NFA (Q, ∑, δ, S, F). dimana :
Q = {q0, q1, q2,q3, q4}δ diberikan dalam tabel berikut :
∑= {a, b,c}
δ
a
b
c
S = q0
q0
{ q0, q1}
{ q0, q2}
{ q0, q3}
F = { q4}
q1
{ q1, q4}
{ q1}
{ q1}
q2
{ q2}
{ q2, q4}
{ q2}
q3
{ q3}
{ q3}
{ q3, q4}
q4
Æ
Æ
Æ
Ilustrasi graf untuk NFA adalah sebagai berikut :
Ilustrasi graf untuk NFA
Ilustrasi graf untuk NFA


kalimat yang diterima NFA di atas : aa, bb, cc, aaa, abb, bcc, cbb
kalimat yang tidak diterima NFA di atas : a, b, c, ab, ba, ac, bc
Sebuah kalimat di terima NFA jika :
·salah satu tracing-nya berakhir di state AKHIR, atau
·himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state AKHIR
Contoh :
Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas :
ab, abc, aabc, aabb
Jawab :
 
kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas
kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas
Himpunan state mengandung state AKHIR Þkalimat aabb diterima

0 komentar:

Posting Komentar